高斯狂想曲，非常强大的高斯积分求解技巧

高斯积分险些呈现在数学和物理的所有范畴，乃至在你意想不到的处所。高斯函数和维中的球体的体积有亲密关系。高斯积分很壮大，我愿望在浏览完这篇文章后，你会批准。

高斯积分因此巨大的德国数学家卡尔-弗里德里希的名字定名的

它描写了位于=邻近的钟形曲线下的面积，下方绘制的宽度对应于

高斯积分是钟形高斯函数下的面积

我常常看到这个积分，但我老是记不住把这些常数放在哪里。前面的因数是2照样。是在 平方根 里面照样表面。指数是1照样1/2。

起首，让我们做一个最简单的高斯积分例子。

计算的诀窍是先计算²，然后取平方根。解出来后，就很容易计算

只必要做替换→，反复使用更简单的积分，

同样， 我们 获得

代换→−。只是轻微繁杂一点的是

要做到这一点，只需计算

从新使用上面计算的积分：

同时，我们如今知道了高斯函数的傅里叶变换。只需替换前面成果中的→。险些不颠末计算，但颠末论证，就获得了广义多维版本

是一些（正）对称×矩阵（纷歧定对角线）和是列向量

论证如下。因为是一个对称矩阵，我们可以找到一个正交矩阵O，其det O=1

此中是一个对角矩阵。然后我们有

如今我们的替代

以是

是替换变换的雅可比矩阵。然则这个替换的雅可比矩阵是正交矩阵的行列式是1。因为是一个对角矩阵，我们有

此中_是行和列的值。以是我们有

彷佛我们将问题简化为从矩阵肯定对角矩阵。但我们乃至不必要它。由于det=det O^T = 1

这便是广义的-维l例子的终极成果。可能有点繁杂，但我以为这是一个很酷的计算。