黎曼通过几何研究，预见了现实世界的最本质特征

一个像黎曼如许的几何学家险些已经预感到了实际天下的最本色特性。——爱丁顿

格奥尔格-弗里德里希-伯恩哈德-黎曼（Georg Friedrich Bernhard Rie-mann）于1826年9月17日出身在德国汉诺威一个名叫布列斯伦茨的小村落庄。黎曼在年夜约6岁时开端学算术，他生成的数学能力立刻就表示出来了。在10岁时，他向一个叫舒尔茨的专职西席进修高等算术和几何，舒尔茨很快就发现本身得随着这个学生走，这孩子常有比他更好的解题办法。

黎曼中学时的校长施马尔富斯注意到黎曼的数学能力，容许他随便进出藏书楼，并容许他不上数学课。在施马尔富斯的保举下，黎曼借走了勒让德的《数论》。这无疑是黎曼对素数之谜感兴致的开端。勒让德有一个用来估量小于随意率性给定数的素数的近似数量的履历公式。在黎曼最深入、最有启迪性的论文中，有一篇便是属于这个范畴。事实上，从他试图改良勒让德的公式而发生的“黎曼料想”，成了本日最艰苦的数学难题之一。

关于小于某个给定量的素数的数量，德语版

黎曼料想呈现在有名的论文《关于小于某个给定量的素数的数量》中。论文所讨论的问题是要提供一个公式，注解小于已知数n的素数有若干个。在办理这个问题的测验考试中，黎曼不得不研讨无限级数

此中s是复数，并使得级数收敛。有了这个限定前提，这个无限级数便是s的一个肯定的函数了，记为

这便是有名的黎曼zeta函数

跟着s转变，zeta（s）持续地取分歧的值。s取哪些值，zeta（s）是零呢。黎曼的预测是，对付实部为1/2的所有s，即

这便是有名的黎曼料想。无论谁证实它成立或证实它不成立，都将给本身带来伟大的荣誉，并将附带办理素数理论中、高等算术的其他部门以及阐发学的某些范畴中的很多极为艰苦的问题。1914年，英国数学家G-H-哈代证实了s的无限多个值满意这个料想，但无限未必是全体。黎曼料想不是那种能用初等办法办理的问题，比费马年夜定理更难。

黎曼在中学以惊人的速率靠自学，不仅体会了勒让德这个巨大数学家的著作；他还经由过程进修欧拉的著作，认识了微积分学及其分支。相称令人惊异的是，黎曼从阐发学的如许一个古老的出发点（因为高斯、阿贝尔和柯西的事情，欧拉的办法到19世纪40年月中叶已颠末时）开端，后来竟能成为一名胜利的阐发学家。

1846年黎曼19岁时，成为哥廷根年夜学一论理学习哲学的学生。然则他放不下斯特恩（Stern）关于方程论和定积分，高斯关于最小二乘法，以及戈尔德斯米特关于地磁学的数学讲座。黎曼向他的父亲认可了这统统，哀求容许他改学数学。父亲由衷地批准了。

在哥廷根年夜学读了一年以后，黎曼转到柏林年夜学，就学于雅可比、狄利克雷、施泰纳和艾森斯坦。他向这些年夜师学到了许多器械——从雅可比那边学到了高等力学和高等代数，从狄利克雷那边学到了数论和阐发，从施泰纳那边学到了当代几何，而从比他年长三岁的爱森斯坦那边，他不仅学到了椭圆函数，也学到了自大，由于他和这位年青的年夜师对理论应该若何成长，有着基本的分歧概念。爱森斯坦保持美好的公式，若干有点当代化的欧拉作风；黎曼想要引进复变量，从少数简单的一样平常原理，以起码的计算，导出整个理论。由黎曼创始的单复变量函数理论，在当代科学史上相称紧张。

1849年黎曼回到哥廷根年夜学完成了他的数学学业，取得了博士学位。人们通常把他看成纯数学家，实在他的兴致长短常普遍的，事实上，他用于物理科学的光阴与他用于数学的光阴同样多。要是他能多活二三十年，他很可能会成为19世纪的牛顿或爱因斯坦。他的物理学思惟在他谁人期间是极其年夜胆的。直到爱因斯坦完成了他的广义相对论，物理学家们才意识到黎曼预感到的物理是合理的（黎曼是用几何办法研讨的）。

黎曼在哥廷根年夜学的末了三个学期，听了哲学讲座和威廉-韦伯的试验物理学课程。黎曼逝世后留下的哲学和生理学的未脱稿，注解他作为一个哲学思惟家，同他在数学中一样富于独创性。同时，作为一个物理数学家，黎曼在对付数学中很可能具有科学上利用代价的器械的直觉上，与牛顿、高斯、爱因斯坦是统一品级的。

黎曼在1850年（24岁时）得出结论，

有可能树立一个完备的、自作掩饰的数学理论，这个理论从一些单个点的根本定律，推论出在充斥物资的实际空间（持续充斥的空间）中所见到的进程，不分引力、电、磁或静热力学。

这大概可以解释为黎曼摈弃了物理科学中统统有利于场论的“超距作用”理论。在场论中，好比说，环抱着一个“带电粒子”的“空间”的各类物理性子，是数学研讨的工具。黎曼对他在物理学中的事情着了迷，把他的纯洁数学临时放在一边，1850年他加入了由韦伯、乌尔里希、斯特恩和利斯廷方才开设的数理物理学研讨班。

1857年，黎曼把拓扑办法引入单复变函数论中。高斯曾经预言过，拓扑学会成为数学的一个最紧张的范畴，黎曼经由过程他在函数论中的创造，部门实现了这个预言。

黎曼应用他的曲面及其拓扑性子取得了惊人的进展，分外是在阿贝尔函数方面。这方面的一个问题是，怎样做出截线以使得n叶曲面等同于一个平面。这种高度的空间“直觉”是极其难能难得的。

1851年11月初，黎曼把他的博士论文《单复变函数一样平常理论的根基》呈交给高斯审查。黎曼在高斯看完他的论文后前往登门访问，高斯奉告他，他本人已经方案多年，要想写一篇同样标题的专题论文。高斯说，

黎曼老师交来的论文提供了令人佩服的证据，阐明作者对该文所阐述的这一问题的那些部门，作了周全深刻的研讨，阐明作者具有发明性的、活跃的、真正的数学脑筋，具有灿烂丰硕的发明力。表达方式清楚简明，在一些处所乃至是柔美的。年夜多半读者会愿望支配更为明白。整篇论文是有内容有代价的著作，它不仅满意了博士论文所要求到达的尺度，并且远远跨越了这些尺度。

从1853年（黎曼27岁）起，他集中精神思虑数理物理学。因为他对物理科学日益增加的热心，他的就职论文迁延了好久，直到这一年的岁尾才完成。在他担任讲师职务之前，他还得做一次就职演讲。高斯指定“几何根基”作为黎曼的演讲主题，这是高斯研讨了60年的问题，他愿望看看这个如斯年青的人怎样处置这一难题。黎曼苦心预备了此次演讲，受到了很年夜的迎接。黎曼的《论作为几何学根基的假设》不只是整个数学上一篇巨大的杰作，也是一篇供举荐的名著。

黎曼关于阿贝尔函数的独具特点的部门著作，关于超几何级数以及对这个级数提出的微分方程的经典著作，在数理物理学中极为紧张。在这两方面的著作中，黎曼在他本身的新偏向上独树一帜。他的办法的一样平常性，直观性，是他本身所特有的。

黎曼对阿贝尔函数理论的成长，分歧于魏尔斯特拉斯对它的成长，如同月光分歧于日光。魏尔斯特拉斯的研讨是井井有条的，在所有的细节上都是准确的。至于黎曼，看到了整体，但疏忽了细节。魏尔斯特拉斯的办法是算术的，黎曼的办法是几何的和直观的。说一个比另一个“更好”是没故意义的；两种办法都不克不及从通俗概念去懂得。

事情过度和短缺合理的苏息，使黎曼方才31岁时就神经虚弱，黎曼被迫在哈尔茨的山村落渡过了几个礼拜（他在那边碰见了感恩金）。一天薄暮，黎曼浏览布鲁斯特的牛顿列传，发现了牛顿致本特利的信，在这封信中，牛顿本人断言了无介质的超距作用是弗成能的。这使黎曼很愉快，并激起他作一次即兴演讲。本日，黎曼称颂的“介质”并不是发光的以太，而是他本身的“弯曲空间”，或它在相对论时空中的反映。

1858年，黎曼写了关于电动力学的文章。关于这篇文章他写信奉告他的姐姐，

我已经把我关于电与光之间的亲密接洽的发现，呈送给哥廷根皇家学会了，我据说高斯曾经就这一亲密接洽假想了另一个理论，和我的理论分歧，并奉告了他的密友们，不外，我充足信任我的理论是正确的，过几年就会获得认可，诚如所知高斯不久收回了他的论文，没有颁发它；大概他本人对它不满足。

看来黎曼在这个问题上是过于乐观了；克拉克-麦克斯韦的电磁场理论是本日主导这个范畴的理论。光和电磁场理论的今朝状态过于繁杂，无法在这里先容；注意到黎曼的理论没有传播下来就足够了。

狄利克雷于1859年5月5日逝世，如许，黎曼在33岁时成了高斯的第二个继任者。在一次去柏林拜访时代，他受到博查特、库默尔、克罗内克和魏尔斯特拉斯的宴请。各类学会，包含伦敦皇家学会和法兰西科学院，付与他会员的荣誉，总之，他获得了一个科学家通常所能获得的最高荣誉。1860年拜访巴黎时，他结识了法国最高级的数学家，分外是埃尔米特，他对黎曼的称颂简直没有尽头。这一年，1860 年，是数学物理学史上值得影象的一年，由于在这一年，黎曼开端集中写作他的论文《关于热传导的一个问题》，他在这篇文章中成长了二次微分情势的全体办法，本日二次微分情势是相对论的根基。

黎曼的物资生涯跟着他被录用为正传授而年夜年夜改善，他在36岁时有才能娶亲了。他的老婆伊丽泽-科赫是他的姐妹的同伙。婚后仅仅一个月，黎曼在1862年患了肋膜炎，尚未完全康复又患了肺病。在哥廷根，他经常表现想要与感恩金谈谈他尚未完成的事情，然则一直没有觉得身材强健到能经得住一次访问。他末了的日子是在马焦雷湖畔塞拉斯卡的一栋别墅中渡过的。黎曼于1866年7月20日逝世，时年39岁。

作为一个数学家，黎曼的巨大在于他为纯洁数学和利用数学揭示的办法和新概念是极其广泛的，实用于无穷的规模。

几何根基

他把一个庞年夜问题的整体看作一个连贯的同一体。这里只能先容他的一个巨大的作品，即1854年终于几何根基的论文。黎曼指出，由于有分歧的线和曲面，以是有分歧种类的三维空间；我们只能凭履历去找出我们生涯在此中的空间毕竟属于这些三维空间中的哪一类。分外是，平面几何的正义在一张纸的平面上实验的限度内是成立的，然而我们知道，这张纸现实上布满着很多小皱纹，在其上（总曲率不为0）这些正义不成立。他说，同样地，固然立体几何的正义在实验的限度内对付我们空间的有限部门是成立的，然而我们没有理由以为它们对付异常小的部门也是成立的；假如是以能对解释物理征象有所赞助的话，我们可能就有理由得出它们对付空间的很小的部门不成立的结论。

黎曼说，我要在这里指出一种办法，使这些思虑可以利用于物理征象的研讨。我以为现实上：

空间的小部门事实上所具有的某种性子，相似于在均匀来说平展面上呈曲面的小丘；通俗的几何定律在那边并不成立。

这种呈弯曲或扭曲的性子，以波的方式持续地从空间的一部门过渡到另一部门。

空间曲率的这种变化真实地产生在我们称为（不管是可量度的照样很虚缈的）物资活动的那些征象中。

在物理天下中，依据（大概是）持续性定律，除了这种变化以外没有其他工作产生。

我只管即便以一样平常方式解释关于这一假说的双重屈折的纪律，然则还没有得出任何肯定到可以颁布的成果。

黎曼也信任他的新几何会被证实具有科学上的紧张意义。正如他的论文结尾所注解的∶

是以，要么组成空间根基的实际必需形成一个离散的流形，要么我们必需在作用于它的束缚力中，探求在它之外的器量关系的根基。

对这些问题的答复，只能从构思已为履历辨明的征象（牛顿假定这种征象是根基）动身去获得，也可以从在这种构思中做它不克不及解释的事实所要求的接踵变化去获得。

这领导我们进入另一门科学，即物理科学的范畴，这项事情的工具本日还不容许我们进入这个范畴。

黎曼1854年的事情赋予几何一种全新的观念，他想象的几何长短欧几何，但既不是在罗巴切夫斯基和约翰-鲍耶意义上的非欧几何，也不是在黎曼本身的钝角假设这一苦心之作的意义上的非欧几何，而是在一种依附于器量观点的更普遍意义上的非欧几何。把器量关系伶仃地作为黎曼理论的中枢，是对它的误会；这个理论包括的器械远比某种可操作器量原理为多，而这恰是它的一个主要特性。对黎曼简明简要的论文的任何解释，都不克不及阐明这篇论文中的全体内在；然而，我们将试图阐明他的一些根本思惟，我们将选择三点∶流形的观点，间隔的界说，以及流形的曲率的观点。

一个流形是一类工具，所谓工具是指这个类中的随意率性一个成员，都能经由过程给它按肯定次序指定的某个数来完全肯定，以反映这些成员元素的“可数”性子；而给定次序的这种设计，则反映了这种“可数”性子本来就有的特征。纵然这个说法乃至可能比黎曼的界说更难懂得，但它仍旧是据以开端的一个有用的出发点，它在通俗数学中相称于∶一个流形是一个有序的“n元”数组（x_i，x_2，…，x_n）的聚拢。两个如许的n元数组（x_i，x_2，…，x_n）和（y_1，y_2，…，y_n），当且仅当它们中的对应数分离相等时，这两个n元数组相等。

假如流形中的每一个如许的有序n元数组中正好呈现n个数，那么就说该流形是n维的。是以我们又回到评论辩论笛卡儿坐标了。假如（x_i，x_2，…，x_n）中的每一个数都是正整数，零，或负整数，或者假如它是随意率性一个可数集的元素，而且假如这对付该聚拢中的每一个n元数组都成立，那么就说该流形是离散的。假如数x_i，x_2，…，x_n可以持续地取值（如一个点沿着一条线活动那样），那么该流形是持续的。

这个界说疏忽了如许一个问题∶有序n元数组的聚拢或者由这些n元数组“表现”的某个器械是否便是“流形”。如许，当我们说（x，y）是平面上一个点的坐标时，我们并没有问"大众平面上的一个点公众是什么，而是动手使用这些有序数对（x，y），此处x，y自力地取遍所有实数。另一方面，有时刻我们把注意力放在诸如（x，y）如许的符号表现什么上面是有利的。如许，假如x是一小我的按秒计算的年龄，y是他的按厘米计算的身高，我们可能对这小我感兴致，而不是对他的坐标感兴致，而我们探讨的数学只关怀坐标。按同样的设法主意，几何不再涉及“空间”“是”什么。对一个当代数学家来说，空间只是上面所描写的那类数的流形，空间的这个观点是从黎曼的“流形”中发生出来的。

黎曼在讲到器量时说，"大众器量由必要比拟的量叠加构成。假如没有这一点，就只能在一个量是另一个量的一部门时能力比拟了，那就只能决议量的多和少，而不克不及决议毕竟是若干了。可以趁便说一下，某种前后同等并且有效的器量理论，今朝在理论物理学中，分外是量子力学和相对论在此中具有紧张意义的统统问题中，是一个迫切必要的器械。

黎曼再次从哲学的一样平常原则降落到不那么神秘的数学，动手订定了一个间隔的界说，这是从他的器量观点中提掏出来的，已经证实它在物理学和数学两方面都是富有成效的。

毕达哥拉斯的间隔公式是

怎样把它推广到曲面上呢。平面上的直线相称于曲面上的测地线；然则在球面上，例如，对付由测地线形成的直角三角形，毕达哥拉斯公式不成立。黎曼像下面如许把毕达哥拉斯公式推广到随意率性流形∶

是流形上两个点的坐标，这两个点是相互“无穷靠近”的。为简单起见，我们阐明n=4时的意义，这个间隔是：

的平方根。对付所有g的一种分外选择，就肯定了一个“空间”。如许我们可以有，

所有其他的g是零。相对论中斟酌的空间具有这种一样平常类型，此中除了g_11，g_22，g_33和g_44以外的所有g为零。

在n维空间的情形，附近点之间的间隔以相似的办法界说；一样平常表达式包括1/2n（n＋1）项。假如已知对付两个附近点间隔的推广的毕达哥拉斯公式，找出空间中随意率性两点之间的间隔在积分学中是一个可解问题。一个其器量（丈量系统）由上述类型的公式肯定的空间称为黎曼空间。

曲率，如黎曼所表达的，是从通俗履历得出的另一项推广。一条直线的曲率是零；一条曲线偏离直线水平的“器量”，在曲线上的每一点处可能雷同（就像对付圆那样），或者也可能分歧，此时就必需利用极限的方法来表现“曲率的年夜小”。相似地对付曲面，其曲率可由偏离平面的水平来器量，平面的曲率为零。这可以加以推广，并像下面如许使之更为准确。为简单起见，我们起首阐明二维空间的情形，即我们通常想象的曲面那样的情形。由表现给定曲面上附近点间隔平方的公式

可知，可用给定的函数g_11，g_12，g_22来计算曲面上随意率性点曲率的年夜小。用通俗语言评论辩论一个多于二维的空间的“曲率”是毫无意义的，然则黎曼推广了高斯的曲率，以同样的数学方式树立了一个在n维空间的一样平常情形中包括统统g，在内的表达式，它和高斯对付一个曲面的曲率的高斯表达式在数学上是统一类型的，这个推广的表达式便是他所说的空间曲率的测度。展现一个多于二维弯曲空间的形象化表现是可能的，然则这对直觉的赞助，年夜概就像给一个没有脚的人一对破手杖一样无用，由于这对懂得没有什么赞助，并且它们在数学上也是无用的。

黎曼把为了特殊目标（用于动力学，或纯洁几何，或物理科学）而发明的数量无穷多的“空间”和“几何”，置于专业几何学家的才能规模之内，它把年夜量紧张的几何定理，捆成可以或许很容易作为整体处置的牢牢的一束。黎曼的成绩教会了数学家们不要信任作为人类直觉的需要模式的任何几何或任何空间。

末了，黎曼所界说的曲率，他为研讨二次微分情势设计的办法，以及他对付曲率是一个不变量这一事实的熟悉，都在相对论中找到了物懂得释。相对论是否达到了终极情势并不紧张；自从相对论问世以来，我们对付物理科学的见解已分歧于以往。没有黎曼的事情，科学思惟的这场革命是弗成能的，除非后来的某小我能发明出黎曼发明的观点和数学办法。